Càlcul dels zeros d'una funció:

En aquesta pràctica veurem com es poden calcular numèricament els zeros d'una funció.

Teorema de Bolzano: Canvis de signe

Donada una funció f(x), per calcular els seus zeros haurem de fer:

Triar el rang del domini en el que estudiem la funció: [xmin,xmax]
Avaluar la funció en un conjunt de punts d'aquest domini
Determinar els canvis de signe de la funció (per Bolzano sabem que allà hi haurà els zeros)
Calcular els zeros

% funció f(x) definida com a inline

f=@(x) sin(x);

%rang de valors que estudiem

xmin=-5;

xmax=5;

pas=0.15;

x=xmin:pas:xmax;

%valors de la funció

y=f(x);

%-------------------------------------------------------------

% pintem la funció per tenir una idea dels zeros

%-------------------------------------------------------------

semieix_y=1.1*max(abs(y)); %ajustem els eixos als valors de la funció

plot(x,y,'.-');

hold on;

axis([xmin xmax -semieix_y semieix_y]);

grid

line([xmin xmax],[0 0],'Color','k','LineWidth',2)

line([0 0],[-semieix_y semieix_y],'Color','k','LineWidth',2)

Determinació de l'interval de canvi de signe

%-------------------------------------------------------------

% Determinem els possibles zeros de la funció.

%-------------------------------------------------------------

% Fem un estudi del numero de zeros a partir dels canvis de signe de la

% funció

nzeros=0;

intervals=[];

for j=1:length(y)-1

if ( y(j)*y(j+1) <= 0 )

nzeros=nzeros+1;

plot(x(j),y(j),'ro')

plot(x(j+1),y(j+1),'yd')

disp(['zero ', num2str(nzeros)]);

disp(['interval [' num2str(x(j)) ',' num2str(x(j+1)) ']']);

intervals=[intervals; x(j), x(j+1)]; %guardem els intervals en una matriu

end

zero 1

interval [-3.2,-3.05]

zero 2

interval [-0.05,0.1]

zero 3

interval [3.1,3.25]

Mètode de la Bisecció

Es basa en dividir succesivament la meitat l'interval inicial [a,b],

en el que hi ha un canvi de signe i anar descartant la meitat que ja no conté el canvi de signe (trobareu el codi al final del guió).

Iteracions de la bisecció

Càlcul del zero a cada interval

Ara per cada interval cridarem una funció que calculi el zero fins a una determinada tolerància d'error

. Aquest criteri és suficient si la funció és prou vertical però en general és més precís utilitzar que

que sempre donarà un valor més proper al zero real.

tol = 1.e-8;  % demanem 10^(-8) de precisió en el càlcul 
numZeros = size(intervals,1); %cada fila és un interval [xa, xb] de canvi de signe
for i = 1:numZeros
    xa = intervals(i,1);
    xb = intervals(i,2);
    z(i) = biseccio(f, xa, xb, tol); %s'ha de triar el mètode a utilitzar
    %z(i) = secant(f, xa, xb, tol); 
    %z(i) = newton(f, df, xa, xb, tol);
end
iter = 1  x= -3.1250000000000000e+00  f(x)= -1.659189e-02
iter = 2  x= -3.1625000000000001e+00  f(x)= 2.090582e-02
iter = 3  x= -3.1437499999999998e+00  f(x)= 2.157345e-03
iter = 4  x= -3.1343749999999999e+00  f(x)= -7.217591e-03
iter = 5  x= -3.1390624999999996e+00  f(x)= -2.530151e-03
iter = 6  x= -3.1414062499999997e+00  f(x)= -1.864036e-04
iter = 7  x= -3.1425781250000000e+00  f(x)= 9.854713e-04
iter = 8  x= -3.1419921874999996e+00  f(x)= 3.995339e-04
iter = 9  x= -3.1416992187499995e+00  f(x)= 1.065652e-04
iter = 10  x= -3.1415527343749998e+00  f(x)= -3.991921e-05
iter = 11  x= -3.1416259765624996e+00  f(x)= 3.332297e-05
iter = 12  x= -3.1415893554687497e+00  f(x)= -3.298121e-06
iter = 13  x= -3.1416076660156245e+00  f(x)= 1.501243e-05
iter = 14  x= -3.1415985107421873e+00  f(x)= 5.857152e-06
iter = 15  x= -3.1415939331054688e+00  f(x)= 1.279516e-06
iter = 16  x= -3.1415916442871090e+00  f(x)= -1.009303e-06
iter = 17  x= -3.1415927886962889e+00  f(x)= 1.351065e-07
iter = 18  x= -3.1415922164916990e+00  f(x)= -4.370981e-07
iter = 19  x= -3.1415925025939941e+00  f(x)= -1.509958e-07
iter = 20  x= -3.1415926456451415e+00  f(x)= -7.944652e-09
--------------------------------
iter = 1  x= 2.5000000000000355e-02  f(x)= 2.499740e-02
iter = 2  x= -1.2499999999999734e-02  f(x)= -1.249967e-02
iter = 3  x= 6.2500000000003109e-03  f(x)= 6.249959e-03
iter = 4  x= -3.1249999999997113e-03  f(x)= -3.124995e-03
iter = 5  x= 1.5625000000002998e-03  f(x)= 1.562499e-03
iter = 6  x= -7.8124999999970579e-04  f(x)= -7.812499e-04
iter = 7  x= 3.9062500000029698e-04  f(x)= 3.906250e-04
iter = 8  x= -1.9531249999970440e-04  f(x)= -1.953125e-04
iter = 9  x= 9.7656250000296291e-05  f(x)= 9.765625e-05
iter = 10  x= -4.8828124999704056e-05  f(x)= -4.882812e-05
iter = 11  x= 2.4414062500296117e-05  f(x)= 2.441406e-05
iter = 12  x= -1.2207031249703969e-05  f(x)= -1.220703e-05
iter = 13  x= 6.1035156252960739e-06  f(x)= 6.103516e-06
iter = 14  x= -3.0517578122039478e-06  f(x)= -3.051758e-06
iter = 15  x= 1.5258789065460631e-06  f(x)= 1.525879e-06
iter = 16  x= -7.6293945282894233e-07  f(x)= -7.629395e-07
iter = 17  x= 3.8146972685856038e-07  f(x)= 3.814697e-07
iter = 18  x= -1.9073486298519098e-07  f(x)= -1.907349e-07
iter = 19  x= 9.5367431936684699e-08  f(x)= 9.536743e-08
iter = 20  x= -4.7683715524253140e-08  f(x)= -4.768372e-08
iter = 21  x= 2.3841858206215780e-08  f(x)= 2.384186e-08
iter = 22  x= -1.1920928659018680e-08  f(x)= -1.192093e-08
iter = 23  x= 5.9604647735985499e-09  f(x)= 5.960465e-09
--------------------------------
iter = 1  x= 3.1750000000000007e+00  f(x)= -3.340113e-02
iter = 2  x= 3.1375000000000006e+00  f(x)= 4.092642e-03
iter = 3  x= 3.1562500000000009e+00  f(x)= -1.465682e-02
iter = 4  x= 3.1468750000000005e+00  f(x)= -5.282322e-03
iter = 5  x= 3.1421875000000004e+00  f(x)= -5.948464e-04
iter = 6  x= 3.1398437500000007e+00  f(x)= 1.748903e-03
iter = 7  x= 3.1410156250000005e+00  f(x)= 5.770286e-04
iter = 8  x= 3.1416015625000004e+00  f(x)= -8.908910e-06
iter = 9  x= 3.1413085937500007e+00  f(x)= 2.840598e-04
iter = 10  x= 3.1414550781250004e+00  f(x)= 1.375755e-04
iter = 11  x= 3.1415283203125002e+00  f(x)= 6.433328e-05
iter = 12  x= 3.1415649414062505e+00  f(x)= 2.771218e-05
iter = 13  x= 3.1415832519531257e+00  f(x)= 9.401637e-06
iter = 14  x= 3.1415924072265629e+00  f(x)= 2.463632e-07
iter = 15  x= 3.1415969848632814e+00  f(x)= -4.331273e-06
iter = 16  x= 3.1415946960449221e+00  f(x)= -2.042455e-06
iter = 17  x= 3.1415935516357427e+00  f(x)= -8.980459e-07
iter = 18  x= 3.1415929794311528e+00  f(x)= -3.258414e-07
iter = 19  x= 3.1415926933288576e+00  f(x)= -3.973906e-08
iter = 20  x= 3.1415925502777102e+00  f(x)= 1.033121e-07
iter = 21  x= 3.1415926218032837e+00  f(x)= 3.178651e-08
iter = 22  x= 3.1415926575660706e+00  f(x)= -3.976277e-09
--------------------------------
disp('zeros :');
zeros :
z
z = 1×3
    -3.141592645645142e+00     5.960464773598550e-09     3.141592657566071e+00

Exercici 1:

Canvieu el criteri de detecció del zero de bisecció per la condició

Hint: En aquest cas només cal fer

i només calen un parell més d'iteracions.

Agafeu la funció

que és una funció molt plana (tota ella està per sota de

) i mireu la diferència entre els dos criteris (el segon sempre és més precís!!)

Exercici 2: Mètode de la secant (regula falsi)

Implementeu el mètode de la secant creant una funció de Matlab

function zero = secant(f, xa, xb, tol)

i substituiu en el programa anterior la crida a biseccio per la crida a secant.

Mètode de la secant:

Anàlogament al que es fa en el mètode de bisecció, es pot fer el mateix però triant com a punt intermedi c, el punt de tall de l'eix x (y=0) amb la recta que uneix els dos punts (a,f(a)) i (b,fb)).

Podeu comprovar que la fórmula és:

A partir d'aquí es procedeix exactament igual que a bisecció, es descarta el subinterval que no conté el zero.

(source https://planetcalc.com/3712/)

Solució: Pel primer dels zeros només calen dues iteracions i donen:

iter = 1 x= -3.1415994094031583e+00 f(x)= 6.755813e-06

iter = 2 x= -3.1415926532799121e+00 f(x)= -3.098811e-10

Exercici 3: Mètode de Newton

Implementeu el mètode de Newton creant una funció de Matlab

function zero = newton(f, df, a, b, tol)

i substituiu en el programa anterior la crida a biseccio per la crida a newton.

Mètode de Newton:

Anàlogament al que es fa en el mètode de secant, es pot fer el mateix però triant com a punt intermedi c, el punt de tall de l'eix x (y=0) amb la recta tangent en un punt inicial

de l'interval [a,b]. Per exemple el punt mig de [a,b],

Això requereix, entre d'altres coses, el càlcul de la derivada de la funció f(x) i definir-la també com una funció inline.

La fórmula matemàtica del mètode en aquest cas és:

A partir d'aquí es procedeix exactament igual que a bisecció, es descarta el subinterval que no conté el zero.

(source Animation of Newton's method by Ralf Pfeifer (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:NewtonIteration_Ani.gif))

% funció f(x) definida com a inline

f=@(x) sin(x);

% Derivada de f(x)

df=@(x) cos(x);

x0=(b-a)/2;

Solució: Pel primer dels zeros només calen dues iteracions i donen:

iter = 1 x= -3.1415941764993582e+00 f(x)= -1.659189e-02

iter = 2 x= -3.1415926535897931e+00 f(x)= -1.224647e-16

Noteu que el valor de f(x) obtingut és molt millor, de l'ordre de

en comptes del

del mètode de la secant.

Exercici 2: Calcul dels zeros d'una funció

Calculeu els zeros de la funció

dins l'interval [-5,-1.5], pas entre les x de 0.02 i amb una tol = 1.e-10

Solució: Hi ha un total de 7 zeros

-4.7949e+00 -4.4553e+00 -4.0875e+00 -3.6833e+00 -3.2287e+00 -2.6987e+00 -2.0351e+00

Exercicis:(by P. Gutiérrez)

(1) Representeu, a l'interval

la gràfica de la funció

(en color vermell), i la gràfica del seu polinomi de Taylor de grau 3 a l'origen,

(en línia discontínua de color negre), totes dues a la mateixa finestra.

%close all %tanquem figures anteriors (optatiu)

figure %nova figura

hold on %per fer les dues grafiques sobre la mateixa figura

f=@(x) sin(x);

p3=@(x) x-x.^3/6;

x=-pi:0.01:pi;

y=f(x);

plot(x,y)

y2=p3(x);

plot(x,y2) %tambe podem fer directament "plot(x,y,x,y2)"

(2) Representeu la funció

a l'interval

, prenent 0.001 com a increment de l'interval d'abscisses

Visualment, compteu el nombre de zeros i d'extrems relatius (màxims i mínims) de la funció.

%close all %tanquem figures anteriors (optatiu)

figure %nova figura

hold on

f=@(x) log(x.^2-x+2).*cos(x);

x=-10:0.001:15;

y=f(x);

plot(x,y)

grid %hi ha 8 zeros, 4 maxims i 4 minims

Sabent que el conjunt de valors

tals que

és un interval

trobeu els valors aproximats de a i

indexs=find( y>=4 );
 
imin=min(indexs);
a=x(imin)
a = 
     1.195400000000000e+01
 
imax=max(indexs);
b=x(imax)
b = 
     1.323500000000000e+01

(3) Considereu la funció

Representeu, a l'interval

la gràfica de

prenent un increment h=0.1 en els valors de la variable

Localitzeu visualment quants zeros té la funció, i on es troben.

%close all %tanquem figures anteriors (optatiu)

figure %nova figura

hold on

f=@(x) 2*sqrt(2*x.^2+x+3)+sin(x.^2+2)-8;

h=0.1;

x=-5:h:5;

y=f(x);

plot(x,y)

grid %observem que te 4 zeros

Determineu intervals de longitud h=0.1 on la funció presenti un canvi de signe i, per tant, tingui un zero.

nzeros=0;

intervals=[]; %cada fila de la matriu correspondra a un interval

N=length(x); %nombre de punts

for j=1:N-1

if( y(j)*y(j+1)<=0 )

nzeros=nzeros+1; %nombre de zeros trobats fins ara

intervals=[intervals; x(j),x(j+1)]; %afegim una fila a la matriu

fprintf('interval %d: [%f,%f]\n',nzeros,x(j),x(j+1))

plot(x(j),y(j),'r*') %asterisc vermell a l'esquerra del punt

plot(x(j+1),y(j+1),'go') %cercle verd a la dreta del punt

end

interval 1: [-3.200000,-3.100000]
interval 2: [-2.700000,-2.600000]
interval 3: [-2.500000,-2.400000]
interval 4: [2.100000,2.200000]

Calculeu el zero a cadascun dels intervals trobats aplicant el mètode de bisecció amb una tolerància d'error tol=1e-8. Utilitzeu la funció donada al fitxer biseccio.m .

(Primer heu de crear el fitxer biseccio.m , copiant-lo del final del guió i guardant-lo.)

tol=1e-8;
numZeros=size(intervals,1);
  %nombre de files i, per tant, d'intervals trobats
for i=1:numZeros
  xa=intervals(i,1); %copiem xa i xb d'una fila de la matriu
  xb=intervals(i,2);
  z(i)=biseccio(f,xa,xb,tol); %anem omplint un vector z amb els zeros
end
iter = 1  x= -3.1499999999999999e+00  f(x)= 2.755143e-01
iter = 2  x= -3.1250000000000000e+00  f(x)= 9.262973e-02
iter = 3  x= -3.1124999999999998e+00  f(x)= 7.965043e-03
iter = 4  x= -3.1062499999999997e+00  f(x)= -3.255253e-02
iter = 5  x= -3.1093750000000000e+00  f(x)= -1.244819e-02
iter = 6  x= -3.1109374999999999e+00  f(x)= -2.279953e-03
iter = 7  x= -3.1117187499999996e+00  f(x)= 2.832980e-03
iter = 8  x= -3.1113281250000000e+00  f(x)= 2.741186e-04
iter = 9  x= -3.1111328125000002e+00  f(x)= -1.003516e-03
iter = 10  x= -3.1112304687500001e+00  f(x)= -3.648486e-04
iter = 11  x= -3.1112792968749998e+00  f(x)= -4.540242e-05
iter = 12  x= -3.1113037109374999e+00  f(x)= 1.143487e-04
iter = 13  x= -3.1112915039062496e+00  f(x)= 3.447081e-05
iter = 14  x= -3.1112854003906247e+00  f(x)= -5.466388e-06
iter = 15  x= -3.1112884521484370e+00  f(x)= 1.450207e-05
iter = 16  x= -3.1112869262695311e+00  f(x)= 4.517803e-06
iter = 17  x= -3.1112861633300781e+00  f(x)= -4.743013e-07
iter = 18  x= -3.1112865447998046e+00  f(x)= 2.021749e-06
iter = 19  x= -3.1112863540649416e+00  f(x)= 7.737231e-07
iter = 20  x= -3.1112862586975099e+00  f(x)= 1.497107e-07
iter = 21  x= -3.1112862110137938e+00  f(x)= -1.622953e-07
iter = 22  x= -3.1112862348556520e+00  f(x)= -6.292291e-09
--------------------------------
iter = 1  x= -2.6499999999999995e+00  f(x)= -2.033587e-02
iter = 2  x= -2.6249999999999996e+00  f(x)= 3.407065e-02
iter = 3  x= -2.6374999999999993e+00  f(x)= 7.970860e-03
iter = 4  x= -2.6437499999999994e+00  f(x)= -5.920977e-03
iter = 5  x= -2.6406249999999991e+00  f(x)= 1.092155e-03
iter = 6  x= -2.6421874999999995e+00  f(x)= -2.397834e-03
iter = 7  x= -2.6414062499999993e+00  f(x)= -6.486672e-04
iter = 8  x= -2.6410156249999992e+00  f(x)= 2.227903e-04
iter = 9  x= -2.6412109374999995e+00  f(x)= -2.126772e-04
iter = 10  x= -2.6411132812499991e+00  f(x)= 5.121923e-06
iter = 11  x= -2.6411621093749993e+00  f(x)= -1.037613e-04
iter = 12  x= -2.6411376953124992e+00  f(x)= -4.931561e-05
iter = 13  x= -2.6411254882812489e+00  f(x)= -2.209582e-05
iter = 14  x= -2.6411193847656240e+00  f(x)= -8.486695e-06
iter = 15  x= -2.6411163330078118e+00  f(x)= -1.682322e-06
iter = 16  x= -2.6411148071289055e+00  f(x)= 1.719816e-06
iter = 17  x= -2.6411155700683588e+00  f(x)= 1.875087e-08
iter = 18  x= -2.6411159515380853e+00  f(x)= -8.317847e-07
iter = 19  x= -2.6411157608032223e+00  f(x)= -4.065167e-07
iter = 20  x= -2.6411156654357906e+00  f(x)= -1.938828e-07
iter = 21  x= -2.6411156177520745e+00  f(x)= -8.756597e-08
iter = 22  x= -2.6411155939102167e+00  f(x)= -3.440754e-08
iter = 23  x= -2.6411155819892880e+00  f(x)= -7.828334e-09
--------------------------------
iter = 1  x= -2.4500000000000002e+00  f(x)= 7.559849e-02
iter = 2  x= -2.4249999999999998e+00  f(x)= 2.424472e-02
iter = 3  x= -2.4124999999999996e+00  f(x)= -6.914183e-03
iter = 4  x= -2.4187499999999997e+00  f(x)= 9.116930e-03
iter = 5  x= -2.4156249999999995e+00  f(x)= 1.213829e-03
iter = 6  x= -2.4140624999999996e+00  f(x)= -2.822123e-03
iter = 7  x= -2.4148437499999993e+00  f(x)= -7.971257e-04
iter = 8  x= -2.4152343749999994e+00  f(x)= 2.101080e-04
iter = 9  x= -2.4150390624999991e+00  f(x)= -2.930699e-04
iter = 10  x= -2.4151367187499995e+00  f(x)= -4.137119e-05
iter = 11  x= -2.4151855468749996e+00  f(x)= 8.439586e-05
iter = 12  x= -2.4151611328124996e+00  f(x)= 2.151920e-05
iter = 13  x= -2.4151489257812493e+00  f(x)= -9.924282e-06
iter = 14  x= -2.4151550292968746e+00  f(x)= 5.797886e-06
iter = 15  x= -2.4151519775390620e+00  f(x)= -2.063091e-06
iter = 16  x= -2.4151535034179683e+00  f(x)= 1.867424e-06
iter = 17  x= -2.4151527404785149e+00  f(x)= -9.782646e-08
iter = 18  x= -2.4151531219482418e+00  f(x)= 8.848006e-07
iter = 19  x= -2.4151529312133784e+00  f(x)= 3.934875e-07
iter = 20  x= -2.4151528358459466e+00  f(x)= 1.478306e-07
iter = 21  x= -2.4151527881622306e+00  f(x)= 2.500211e-08
iter = 22  x= -2.4151527643203727e+00  f(x)= -3.641217e-08
iter = 23  x= -2.4151527762413014e+00  f(x)= -5.705029e-09
--------------------------------
iter = 1  x= 2.1499999999999995e+00  f(x)= -7.901041e-02
iter = 2  x= 2.1749999999999998e+00  f(x)= 8.412914e-02
iter = 3  x= 2.1624999999999996e+00  f(x)= 2.958821e-03
iter = 4  x= 2.1562499999999996e+00  f(x)= -3.793627e-02
iter = 5  x= 2.1593749999999998e+00  f(x)= -1.746506e-02
iter = 6  x= 2.1609374999999997e+00  f(x)= -7.247040e-03
iter = 7  x= 2.1617187499999995e+00  f(x)= -2.142569e-03
iter = 8  x= 2.1621093749999996e+00  f(x)= 4.085135e-04
iter = 9  x= 2.1619140624999993e+00  f(x)= -8.669314e-04
iter = 10  x= 2.1620117187499996e+00  f(x)= -2.291848e-04
iter = 11  x= 2.1620605468749998e+00  f(x)= 8.967040e-05
iter = 12  x= 2.1620361328124997e+00  f(x)= -6.975567e-05
iter = 13  x= 2.1620483398437500e+00  f(x)= 9.957743e-06
iter = 14  x= 2.1620422363281246e+00  f(x)= -2.989887e-05
iter = 15  x= 2.1620452880859373e+00  f(x)= -9.970540e-06
iter = 16  x= 2.1620468139648437e+00  f(x)= -6.392551e-09
--------------------------------
 
for i=1:numZeros
  fprintf('zero: %.8f\n',z(i)) %escrivim els zeros, amb 8 decimals
end
zero: -3.11128623
zero: -2.64111558
zero: -2.41515278
zero: 2.16204681

Feu el mateix aplicant el mètode de la secant, creant un nou fitxer secant.m . En aquest fitxer caldrà substituir la fórmula xc=(xa+xb)/2 (que correspon al mètode de bisecció) per la fórmula del mètode de la secant. Observeu com es redueix el nombre d'iteracions necessàries.

(Primer heu de crear el fitxer secant.m , copiant-lo del final del guió.)

tol=1e-8;
numZeros=size(intervals,1);
  %nombre de files i, per tant, d'intervals trobats
for i=1:numZeros
  xa=intervals(i,1); %copiem xa i xb d'una fila de la matriu
  xb=intervals(i,2);
  z(i)=secant(f,xa,xb,tol); %anem omplint un vector z amb els zeros
end
iter = 1  x= -3.1094764985737191e+00  f(x)= -1.179001e-02
iter = 2  x= -3.1110058784548626e+00  f(x)= -1.833212e-03
iter = 3  x= -3.1112430457840721e+00  f(x)= -2.825735e-04
iter = 4  x= -3.1112795880036535e+00  f(x)= -4.349756e-05
iter = 5  x= -3.1112852127218482e+00  f(x)= -6.694344e-06
iter = 6  x= -3.1112860783666174e+00  f(x)= -1.030237e-06
iter = 7  x= -3.1112862115862869e+00  f(x)= -1.585494e-07
iter = 8  x= -3.1112862320882479e+00  f(x)= -2.440008e-08
iter = 9  x= -3.1112862352434139e+00  f(x)= -3.755071e-09
--------------------------------
iter = 1  x= -2.6343306118158334e+00  f(x)= 1.480629e-02
iter = 2  x= -2.6402051106162832e+00  f(x)= 2.024306e-03
iter = 3  x= -2.6409976232553642e+00  f(x)= 2.629006e-04
iter = 4  x= -2.6411003691900423e+00  f(x)= 3.390943e-05
iter = 5  x= -2.6411136185806203e+00  f(x)= 4.369811e-06
iter = 6  x= -2.6411153259421631e+00  f(x)= 5.630604e-07
iter = 7  x= -2.6411155459388742e+00  f(x)= 7.255058e-08
iter = 8  x= -2.6411155742855330e+00  f(x)= 9.348154e-09
--------------------------------
iter = 1  x= -2.4237537314549300e+00  f(x)= 2.130064e-02
iter = 2  x= -2.4157168020557762e+00  f(x)= 1.449207e-03
iter = 3  x= -2.4151883865882682e+00  f(x)= 9.170845e-05
iter = 4  x= -2.4151550209630153e+00  f(x)= 5.776419e-06
iter = 5  x= -2.4151529196613968e+00  f(x)= 3.637308e-07
iter = 6  x= -2.4151527873473477e+00  f(x)= 2.290305e-08
iter = 7  x= -2.4151527790159277e+00  f(x)= 1.442135e-09
--------------------------------
iter = 1  x= 2.1628404123872191e+00  f(x)= 5.180666e-03
iter = 2  x= 2.1620593343448022e+00  f(x)= 8.175254e-05
iter = 3  x= 2.1620470111343764e+00  f(x)= 1.281144e-06
iter = 4  x= 2.1620468180179446e+00  f(x)= 2.007460e-08
iter = 5  x= 2.1620468149919496e+00  f(x)= 3.145537e-10
--------------------------------
 
for i=1:numZeros
  fprintf('zero: %.8f\n',z(i)) %escrivim els zeros, amb 8 decimals
end
zero: -3.11128624
zero: -2.64111557
zero: -2.41515278
zero: 2.16204681

Funcions dels mètodes de Bisecció, Secant i Newton

function zero = biseccio(f, xa, xb, tol)
%-------------------------------------------------------------
% Funció Bisecció
%-------------------------------------------------------------
    ya = f(xa);
    yb = f(xb);
    if (ya*yb >= 0) %descartem aquest cas però mirem si algun dels punts ja és un zero
        if (abs(ya) < 1.e-15)
            zero=xa;
            return;
        elseif (abs(yb)< 1.e-15)
            zero=xb;
            return;
        elseif (ya*yb > 0)
            error('interval incorrecte');
        end
    end
    xc = (xa+xb)/2; %el punt mig
    yc = f(xc);
    iter=1; %escribim la primera iteració
    disp(['iter = ',num2str(iter),'  x= ',num2str(xc,'%24.16e'),'  f(x)= ',num2str(yc,'%e')]); 
    while (abs(yc) > tol)
            iter=iter+1;
            if (ya*yc < 0)
                xb=xc; %descartem xb
                yb=yc;
            else
                xa=xc; %descartem xa
                ya=yc;
            end
            xc =(xa+xb)/2; 
            yc = f(xc);
            disp(['iter = ',num2str(iter),'  x= ',num2str(xc,'%24.16e'),'  f(x)= ',num2str(yc,'%e')]); 
    end
    disp('--------------------------------');
    zero=xc;
end
 

function zero = secant(f, xa, xb, tol)
%-------------------------------------------------------------
% Funció Secant
%-------------------------------------------------------------
ya = f(xa);
yb = f(xb);
if (ya*yb >= 0) %descartem aquest cas però mirem si algun dels punts ja és un zero
    if (abs(ya) < 1.e-15)
        zero=xa;
        return;
    elseif (abs(yb)< 1.e-15)
        zero=xb;
        return;
    elseif (ya*yb > 0)
        error('interval incorrecte');
    end
end
xc = xb - f(xb)*(xb-xa)/(f(xb)-f(xa));
yc = f(xc);
iter=1; %escribim la primera iteració
disp(['iter = ',num2str(iter),'  x= ',num2str(xc,'%24.16e'),'  f(x)= ',num2str(yc,'%e')]);
while (abs(yc) > tol)
        iter=iter+1;
        if (ya*yc < 0)
            xb=xc; %descartem xb
        else
            xa=xc; %descartem xa
        end
        xc = xb - f(xb)*(xb-xa)/(f(xb)-f(xa));
        yc = f(xc);
        disp(['iter = ',num2str(iter),'  x= ',num2str(xc,'%24.16e'),'  f(x)= ',num2str(yc,'%e')]); 
end
disp('--------------------------------');
zero=xc;
end

function zero = newton(f, df, xa, xb, tol)
%-------------------------------------------------------------
% Funcio Newton
%-------------------------------------------------------------
    x0 = (xb+xa)/2;
    iter = 1;
    xn = x0; %farem la primera iteració pel valor inicial
    xm1 = xn - f(xn)/df(xn);
    ym1 = f(xn);
    disp(['iter = ',num2str(iter),'  x= ',num2str(xm1,'%24.16e'),'  f(x)= ',num2str(ym1,'%e')]); 
    while (abs(ym1) > tol)
            iter=iter+1;
            xn = xm1;
            xm1 = xn - f(xn)/df(xn);
            ym1 = f(xm1);
            disp(['iter = ',num2str(iter),'  x= ',num2str(xm1,'%24.16e'),'  f(x)= ',num2str(ym1,'%e')]); 
    end
    zero = xm1;
end
 