Exemple d'extrems condicionats: Moviment d'un satèl·lit

Anem a veure visualment com localitzar extrems condicionats.

Un satèl.lit artificial gira al voltant de la Terra en òrbita el.líptica. En un sistema de referència en que la Terra es troba a l'origen de coordenades, l'òrbita del satèl.lit ve donada per l'equació:

on (x,y) són les coordenades del satèl·lit. Es demana en quins punts es troba el satèl.lit més a prop (pericentre) i més lluny (apocentre) de la Terra.

Table of Contents

Funció objectiu Restricció Vectors gradients Càlcul dels extrems condicionats

Funció objectiu

Primer netegem variables i tanquem possibles finestres de gràfics, i definim la funció objectiu (recordem que per al Matlab és una expresió simbòlica de moment).

clear

format shortEng

%format compact

sympref('FloatingPointOutput',true);

syms x y

f=x^2+y^2

f =

Dibuixem algunes corbes de nivell d'aquesta funció. Recordem que hem de fer una graella de punts i passar l'expressió a funció Matlab:

[X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

ffun = matlabFunction(f);

Z=ffun(X,Y);

nc=10;

figure

contour(X, Y, Z, nc) %contour(X, Y, Z, nc,'ShowText','on')

hold on; % deixem el grafic obert per dibuixar mes coses a sobre

Varia el nombre de corbes de nivell. Quina informació ens dona aquest gràfic?

Restricció

La restricció sobre la posició del satèl·lit és l'el·lipse que segueix. Definim la funció:

g=-18*sqrt(3)*x*y+36*sqrt(3)*y-36+36*x+21*y^2+39*x^2

g =

La restricció és g(x,y)=0. Això és la corba de nivell 0 de la funció g. Dibuixem-la:

gfun=matlabFunction(g);

G=gfun(X,Y);

contour(X,Y,G,[0,0],'r',"LineWidth",1)

Modifica el que calgui en aquesta o la secció anterior per tal de visualitzar tota la restricció i sense etiquetes dels nivells. Identifica gràficament on es poden trobar els punts on el satèl·lit es troba a distància màxima i mínima del planeta.

Vectors gradients

Anem a dibuixar alguns vectors gradients. Primer calculem el vector gradient i el convertim a funció de Matlab. A continuació canviarem una mica la malla de punts on grafiquem les corbes de nivell i els vectors gradients:

gradf = gradient(f)

gradf =

vx = matlabFunction(gradf(1));

vy = matlabFunction(gradf(2));

[X, Y] = meshgrid(-6:.5:2,-6:.5:2);

quiver(X, Y, vx(X), vy(Y), 1,'b') %Observem que cada component del gradient depen només d'una variable

hold on;

Dibuixem també el gradient sobre la restricció:

gradg=gradient(g)

gradg =

wx = matlabFunction(gradg(1));

wy = matlabFunction(gradg(2));

quiver(X, Y, wx(X,Y), wy(X,Y), 2,'r') %Observeu que cal dir que les dues components depenen de les dues variables

Pots assegurar amb seguretat que existeixen punts a distància màxima i mínima? Quins resultat matemàtics utilitzes per a la justificació?

Càlcul dels extrems condicionats

Segons el mètode dels multiplicadors de Lagrange, el(s) màxim(s) i mínim(s) es troben dins el conjunt de totes les solucions de les equacions

Introduim una nova variable simbòlica L (el multiplicador) i les equacions. Solucionem el sistema.

syms L;

Eq=[gradf(1)-L*gradg(1),gradf(2)-L*gradg(2),g]

Eq =

[Sx,Sy,SL]=vpasolve(Eq,[x,y,L]);

Les variables Sx,Sy,SL contenen les solucions que ha trobat. El valor del multiplicador L no ens interessa:

Sy =

Hem trobat dos punts:

[Sx(1),Sy(1)]

ans =

ffun(Sx(1),Sy(1))

ans =

41.7846

[Sx(2),Sy(2)]

ans =

ffun(Sx(2),Sy(2))

ans =

0.2154

E=[[Sx(1),Sy(1)];[Sx(2),Sy(2)]];

scatter(E(:,1),E(:,2),50,'filled','k')