Exercicis pràctica: INTEGRACIÓ SOBRE CORBES

Exercicis resolts

(A1) Per a un filferro (homogeni), en forma d' hèlix el·líptica parametritzada per i temperatura en cada punt donada per la funció calculeu la temperatura mitjana aplicant el mètode dels trapezis amb N=50.
x=@(t) 2*cos(t); y=@(t) sin(t); z=@(t) t;
Dx=@(t) -2*sin(t); Dy=@(t) cos(t); Dz=@(t) 1+0*t;
T=@(x,y,z) x.^2+y.^2+z.^2;
N=50;
h=2*pi/N;
tv=0:h:2*pi;
xv=x(tv); yv=y(tv); zv=z(tv);
Dxv=Dx(tv); Dyv=Dy(tv); Dzv=Dz(tv);
normav=sqrt(Dxv.^2+Dyv.^2+Dzv.^2);
longaprox=trapz(tv,normav);
Tv=T(xv,yv,zv);
gv=Tv.*normav;
intaprox=trapz(tv,gv);
mitjanaaprox=intaprox/longaprox;
fprintf('mitjanaaprox = %.6f\n',mitjanaaprox)
mitjanaaprox = 15.383726
(A2) Calculeu la massa de la porció del foli de Descartes, parametritzada per i amb densitat lineal usant quadratura adaptativa.
x=@(t) 3*t./(1+t.^3); y=@(t) 3*t.^2./(1+t.^3);
Dx=@(t) 3*(1-2*t.^3)./(1+t.^3).^2; Dy=@(t) 3*t.*(2-t.^3)./(1+t.^3).^2;
norma=@(t) sqrt(Dx(t).^2+Dy(t).^2);
rho=@(x,y) x.^2+y.^2;
g=@(t) rho(x(t),y(t)).*norma(t);
massa=integral(g,0,1);
fprintf('massa = %.6f\n',massa)
massa = 4.392002
(A3) Calculeu la circulació del camp vectorial al llarg de l'el·lipse recorreguda en sentit antihorari, aplicant el mètode dels trapezis amb N=20.
x=@(t) 3*cos(t); y=@(t) 2*sin(t);
Dx=@(t) -3*sin(t); Dy=@(t) 2*cos(t);
P=@(x,y) y+cos(x.^2);
Q=@(x,y) 0+0*x;
N=20;
h=2*pi/N;
tv=0:h:2*pi;
xv=x(tv); yv=y(tv);
Dxv=Dx(tv); Dyv=Dy(tv);
Pv=P(xv,yv);
Qv=Q(xv,yv);
gv=Pv.*Dxv+Qv.*Dyv;
intaprox=trapz(tv,gv);
fprintf('intaprox = %.6f\n',intaprox)
intaprox = -18.849556
(A4) Si calculem el treball efectuat pel camp de forces sobre una partícula que es mou al llarg de la corba aplicant el mètode dels trapezis amb N=400 i N=1000, obtenim uns valors i respectivament. Calculeu
x=@(t) cos(t.^2); y=@(t) sin(t.^2); z=@(t) t.^2;
Dx=@(t) -2*t.*sin(t.^2); Dy=@(t) 2*t.*cos(t.^2); Dz=@(t) 2*t;
P=@(x,y,z) cos(y-z);
Q=@(x,y,z) x.^2+sin(y);
R=@(x,y,z) 3*x-cos(2*z.^2);
N=[400,1000];
for i=1:2
h=1/N(i);
tv=0:h:1;
xv=x(tv); yv=y(tv); zv=z(tv);
Dxv=Dx(tv); Dyv=Dy(tv); Dzv=Dz(tv);
Pv=P(xv,yv,zv);
Qv=Q(xv,yv,zv);
Rv=R(xv,yv,zv);
gv=Pv.*Dxv+Qv.*Dyv+Rv.*Dzv;
intaprox(i)=trapz(tv,gv);
end
Delta=intaprox(2)-intaprox(1);
fprintf('Delta = %.6e\n',Delta)
Delta = 2.005706e-06
(A5) Considereu la corba de parametritzada com Calculant sobre ella la circulació del camp de vectors per als valors i usant quadratura adaptativa, obtenim uns resultats i Quant val la diferència ?
x=@(t) t.^2; y=@(t) 1./(1+t); z=@(t) cos(t);
Dx=@(t) 2*t; Dy=@(t) -1./(1+t).^2; Dz=@(t) -sin(t);
P=@(t,a) 1+a*x(t).*y(t).*z(t);
Q=@(t,a) 1./(a+x(t).*y(t)+x(t).*z(t)+y(t).*z(t));
R=@(t,a) exp(a*x(t).*y(t).*z(t));
a=0.9;
g1=@(t) P(t,a).*Dx(t)+Q(t,a).*Dy(t)+R(t,a).*Dz(t);
circ1=integral(g1,0,1);
a=1.0;
g2=@(t) P(t,a).*Dx(t)+Q(t,a).*Dy(t)+R(t,a).*Dz(t);
circ2=integral(g2,0,1);
Delta=circ2-circ1;
fprintf('Delta = %.6e\n',Delta)
Delta = 2.205530e-02

Altres exercicis

(B1) Calculeu la massa d'una espira de l'hèlix de radi R=1.10 i altura H=2.50 parametritzada per sigma(t) = (R cos(t), R sin(t), H t/(2pi)), on t pertany a [0,2pi], si la densitat en cada punt és proporcional a la distància a l'origen, essent k=0.90 la constant de proporcionalitat. Utilitzeu N=100 divisions i la regla dels trapezis per aproximar la integral.
[ Solució: 11.529769 ]
(B2) Calculeu la circulació del camp F(x,y)=(exp(-xy),atan(x+y)) al llarg de la corba parametritzada per sigma(t) = (alpha (cos(t))^3, beta (sin(t))^3) amb 0<=t<=2pi, essent alpha=8 i beta=9. Utilitzeu N=100 subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.
[ Solució: 17.311001 ]
(B3) Calculeu la mitjana de la coordenada y al llarg de la trajectòria sigma(t) = (t^2, exp(at), bt), on t pertany a [0,1], essent a=0.50 i b=1.75, usant quadratura adaptativa.
[ Solució: 1.322315 ]
(B4) Calculeu la circulació del camp vectorial F(x,y)=(x^2+exp(xy),y+exp(xy)) al llarg del segment que va des del punt A=(a,0) fins al punt B=(0,b), essent a=1.20 i b=1.20. Useu N=100 subintervals i la regla dels trapezis.
[ Solució: 0.143971 ]
(B5) Calculeu el treball realitzat per la força F(x,y,z) = (y^2 z, yz, z-cxy), essent , sobre una partícula que es mou al llarg de la corba sigma(t)=(1,sqrt(d)cos(t),-sqrt(d)sin(t)), 0<=t<=2pi, mitjançant trapezis amb N=20 subintervals. Preneu els valors c=1.20 i d=3.00.
[ Solució: 11.309734 ]
(B6) Calculeu la circulació del camp vectorial F(x,y)=(y,q), essent q=0.80, al llarg de la semiel·lipse x^2/a^2+y^2=1, x>=0, essent a=1.70, recorreguda en sentit antihorari, mitjançant trapezis amb N=50 subintervals.
[ Solució: -1.070880 ]
(B7)
Considereu la corba plana sigma(t) = (a cos(t), b sin(t)), on t pertany a [0,pi/2] (és el quart d'una el·lipse) i suposeu que sobre ella hem construït una tanca d'alçada variable h(x,y)=cos(c x). Prenent a=0.25, b=0.50 i c=0.75, calculeu l'àrea d'aquesta tanca utilitzant quadratura adaptativa.
[ Solució: 0.599369 ]
(B8) Calculeu el treball realitzat per la força F(x,y,z) = (a y^3, 0, y^3-1) sobre una partícula que es mou al llarg de la corba sigma(t)=(cos(t),sin(t),1+cos(cos(t))), a=1.10, on t pertany a [0,2pi], aplicant el mètode dels trapezis amb N=50.
[ Solució: -2.591814 ]
(B9) Per calcular la massa d'un filferro donat per x^2+ay^2=1, x,y>=0, essent a=4.00, amb densitat rho(x,y)=x+by, essent b=1.00, utilitzem la regla dels trapezis amb N=500 i N=1000 subintervals, obtenint uns resultats M1 i M2 respectivament. Quant val la diferència M1-M2 ?
[ Solució: -7.710630e-07 ]
(B10) Calculeu la circulació del camp F(x,y,z)=(x,y^2,sin(z)) al llarg de la corba parametritzada per sigma(t)=(exp(t),cos(t),t) amb a<=t<=b, essent a=-6 i b=7. Utilitzeu N=500 subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.
[ Solució: 6.014377e+05 ]
(B11) Calculeu l'àrea de la tanca de base, expressada en coordenades polars per r = a theta, a=1.10, on l'angle theta pertany a [0,pi] i alçada h(x,y)=3*sqrt(x^2+y^2). Useu trapezis amb N=100 subintervals.
[ Solució: 42.153247 ]
(B12) Calculeu la circulació del camp F(x,y) = (log(1+xy), alpha x^2 y + y^2) al llarg de la corba parametritzada per sigma(t) = (beta t, exp(sin(2pi t)) amb 0<=t<=4, essent alpha=5 i beta=6. Utilitzeu N=1000 subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral. [Nota: log denota el logaritme neperià (o natural).]
[ Solució: -1.437054e+03 ]
(B13) Calculeu la circulació del camp vectorial F(x,y) = (x exp(y), y^2-ax), al llarg de la corba plana expressada en polars r = b theta^2, amb 0 <= theta <= 2pi, recorreguda en sentit antihorari, essent a=2.00 i b=0.50, usant quadratura adaptativa.
[ Solució: -428.559217 ]
(B14) Trobeu el treball realitzat pel camp F = (x,y)/(x^2+y^2)^(3/2) al llarg del quart d'astroide "el·líptic" sigma(t) = (a cos(t)^3, b sin(t)^3), on t pertany a [0,pi/2], si a=0.25 i b=0.75, usant quadratura adaptativa.
[ Solució: 2.666667 ]
(B15) Useu quadratura adaptativa per tal de calcular la coordenada x del centre de masses d'una espira de l'hèlix de radi R i altura h, parametritzada per sigma(t) = (R cos(t), R sin(t), ht), 0<=t<=2pi, si la densitat en cada punt és proporcional a la distància a l'origen. Preneu h=0.50 i R=1.00.
[ Solució: 0.027731 ]
(B16) Calculeu la longitud de la corba de Viviani de radi R=1.00 (obtinguda tallant una esfera de radi 2R amb un cilindre de radi R que passa pel centre de l'esfera), que té la parametrització sigma(t) = (R(1+cos(t)), R sin(t), 2R sin(t/2)) on t pertany a [-2pi,2pi], utilitzant quadratura adaptativa.
[ Solució: 15.280791 ]
(B17) Calculeu l'àrea de la tanca de base la corba donada en polars per r=1+cos(theta) amb 0<=theta<=pi/2 i alçada h(x,y) = alpha x + beta y, essent alpha=11 i beta=9. Utilitzeu N=400 subintervals i la regla dels trapezis per aproximar la integral.
[ Solució: 61.043978 ]