Exercicis pràctica: RESOLUCIÓ NUMÈRICA D'EDOs

Exercicis resolts

(A1) Donat el PVI
siguin A i B els valors aproximats de i obtinguts aplicant el mètode d'Euler amb pas d'integració h=0.05. Calculeu la diferència
f=@(t,x) t-x.^2;
t0=0; x0=1;
tf=2;
h=0.05;
N=(tf-t0)/h;
[t,x]=odeEuler(f,[t0,tf],x0,h);
A=x(N/2+1);
B=x(N+1);
dif=B-A;
fprintf('dif = %.6f\n',dif)
dif = 0.429498
(A2) Calculeu el valor de si apliquem el mètode ode45 al PVI
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
f=@(t,x) sin(x+2*t.^3);
t0=0; x0=0;
tf=5;
[t,x]=ode45(f,[t0,tf],x0,opcions);
xf=x(end);
fprintf('xf = %.6f\n',xf)
xf = 0.255551
(A3) Donat el PVI següent per a una EDO de segon ordre,
aplicant el mètode ode45 calculeu el quocient
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
P=@(x,y) y;
Q=@(x,y) -y/2+cos(x);
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
t0=0; X0=[2,-1];
tf=3;
[t,X]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
x=X(:,1); y=X(:,2);
quocient=y(end)/x(end);
fprintf('quocient = %.6f\n',quocient)
quocient = 0.344214
(A4) Considereu el PVI següent, per a una EDO de tercer ordre no autònoma
Usant ode45, calculeu la suma
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
P=@(t,x,y,z) y;
Q=@(t,x,y,z) z;
R=@(t,x,y,z) z-2*y+5*x+sin(t);
F=@(t,X) [P(t,X(1),X(2),X(3));Q(t,X(1),X(2),X(3));R(t,X(1),X(2),X(3))];
t0=0; X0=[1,2,-1];
tf=1;
[t,X]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
x=X(:,1); y=X(:,2); z=X(:,3);
suma=x(end)+y(end)+z(end);
fprintf('suma = %.6f\n',suma)
suma = 12.926746
(A5) Representeu al pla les solucions del sistema d'EDOs
amb diferents condicions inicials:
Aquestes solucions són òrbites periòdiques. Visualitzeu-ho amd ode45, escollint un temps final tf prou gran.
close all %(optatiu)
figure
hold on
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
P=@(x,y) y-y.^2;
Q=@(x,y) x-x.^2;
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
t0=0;
X0=[0.2,0.1; 0.1,0.2; 0.7,0; 0,0.7];
nci=size(X0,1);
tf=12;
%hem anat provant diferents valors de tf fins que amb tf=12
%ja visualitzem que les 4 solucions son periodiques
for i=1:nci
[t,X]=ode45(F,[t0,tf],X0(i,:),opcions);
plot(X(:,1),X(:,2))
end
axis equal
xlabel('x'), ylabel('y')
fprintf('tf = %.2f\n',tf)
tf = 12.00
(A6) Sigui la solució del sistema d'EDOs no autònomes
amb les condicions inicials
Usant ode45, calculeu la distància del punt a l'origen.
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
P=@(t,x,y) t.*sin(x.^2)-y;
Q=@(t,x,y) x-t;
F=@(t,X) [P(t,X(1),X(2));Q(t,X(1),X(2))];
t0=3; X0=[1,-2];
tf=7;
[t,X]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
dist=sqrt(X(end,1)^2+X(end,2)^2);
fprintf('dist = %.6f\n',dist)
dist = 9.487151

Altres exercicis

(B1) Considereu el sistema x'=2x-5y , y'=x-2y , on totes les solucions són T-periòdiques, amb període T=2pi. Sigui (x(t),y(t)) la solució que satisfà x(0)=1, y(0)=0. Donat a=0.20, calculeu el valor de x(aT)+y(aT) usant ode45.
[ Solució: 3.162187 ]
(B2) Sigui (x(t),y(t),z(t)) la solució del sistema 3D d'EDOs no lineals
x' = -k1 x + k2 y z , y' = k1 x - k2 y z - k3 y^2 , z' = k3 y^2 ,
tal que (x(0),y(0),z(0)) = (1,0,0). Aquest sistema modelitza l'evolució de les concentracions de tres productes en una reacció química, essent k1,k2,k3>0 unes constants de proporcionalitat. Calculeu una aproximació de z(1) amb ode45 quan k1=k2=1.00 i k3 = 2.00. [ Comprovació: x(1)+y(1)+z(1)=1, ja que la suma de concentracions es conserva. ]
[ Solució: 0.202713 ]
(B3) Sigui theta(t) la solució de l'equació del pèndol sense fricció, theta'' + alpha sin(theta) = 0, tal que theta(0)=pi/4, theta'(0)=0 (el coeficient alpha>0 depèn de la longitud del pèndol). Calculeu una aproximació de theta(2) amb ode45 quan alpha=0.70. [ Comprovació: theta'(2)^2/2 - alpha cos(theta(2)) = -alpha/sqrt(2), per conservació de l'energia total. ]
[ Solució: -0.030403 ]
(B4) Sigui (x(t),y(t)) la solució del sistema 2D d'EDOs no lineals
x' = -y + v (1-x)/sqrt((1-x)^2+y^2) , y' = x - v y/sqrt((1-x)^2+y^2) ,
tal que (x(0),y(0))=(0,0). Aquest sistema modelitza les trajectòries d'uns platihelmints, on el paràmetre v és la velocitat dels platihelmints (0<v<1). Calculeu una aproximació de x(100) amb ode45 quan v=0.50. [ Comprovació: (x(100),y(100)) ~ (v^2, v sqrt(1-v^2)), que és punt d'equilibri atractor. ]
[ Solució: 0.250000 ]
(B5) Donat el PVI x'=(t-a)/(t^2+x^2), x(0)=b, essent a=1.20 i b=5.30, calculem aproximacions de x(2) i x(-2) aplicant el mètode d'Euler amb pas d'integració h=0.04 i h=-0.04 respectivament. Doneu el valor aproximat que obtenim per a x(2)+x(-2).
[ Solució: 10.727020 ]
(B6) Sigui d(t) la solució de l'EDO no lineal de segon ordre d'' = k/d^2 tal que d(0)=1, d'(0)=0. Aquesta equació modelitza el moviment d'una vela solar, essent k>0 una constant de proporcionalitat que depèn de la massa i de la mida de la vela. Calculeu una aproximació de d'(10) amb ode45 quan k=1.00.
[ Solució: 1.357433 ]
(B7) Sigui el PVI x'=ax , y'=2x+2y-2z , z'=y , amb les condicions inicials x(0)=1 , y(0)=2 , z(0)=1 , i el valor del paràmetre a=1.00. Usant ode45, quant val 9x(1)-x(2)-x(3) ?
[ Solució: -3.010057 ]
(B8) La solució del PVI x'=2y, y'= -4x^3+2x, x(0)=0, y(0)=0.03 és periòdica. Si T és el seu període, useu ode45 per trobar el nombre natural N tal que N-1 < T <= N, i representeu gràficament la solució al pla (x,y).
[ Solució: 10 ]
(B9) Sigui el PVI x' = a x^2 (x-1), x(0)=0.5, on prenem a=1.00. Aplicant el mètode d'Euler amb pas d'integració h=0.02, doneu el valor aproximat de 3x(1)-2x(100).
[ Solució: 1.151846 ]
(B10) Sigui el PVI x''+2x'+x = t exp(-t), x(0)=a, x'(0)=-1, essent a=1.00. Usant ode45, quant val x'(1) ?
[ Solució: -0.245253 ]