Pràctica: EVOLUCIÓ D'UNA ÀREA EN UN SISTEMA 2D

que ve donat pel camp vectorial la propietat d'expansió/contracció d'àrees segons el signe de la divergència del camp vectorial,

El sistema expandeix àrees quan contrau àrees quan i conserva àrees si

Un sistema autònom i el seu camp vectorial

que té divergència i per tant és expansiu al semiplà i contractiu al semiplà Té dos punts d'equilibri: Estudiant els seus sistemes linealitzats veiem que corresponen a un node repulsor i una sella, respectivament.

close all %tanquem figures anteriors (optatiu)

figure %nova figura

hold on

P=@(x,y) y-x.^2;

Q=@(x,y) x+y-2;

F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))]; %camp vectorial

plot(-2,4,'r*') %marquem els punts equilibri

plot(1,1,'r*')

xmin=-2.5; xmax=2.5;

ymin=0; ymax=5;

axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) %finestra a visualitzar

axis equal

delta=0.2;

[xg,yg]=meshgrid(xmin:delta:xmax,ymin:delta:ymax);

Pg=P(xg,yg);

Qg=Q(xg,yg);

quiver(xg,yg,Pg,Qg,1.8,'Color','g') %camp vectorial multiplicat per 1.8

Corbes de punts inicials i finals

Ara escollim una petita circumferència per exemple la de centre (0.8,1.4) i radi 0.2 , i escollim un temps d'integració

Parametritzem la circumferència de la manera habitual amb paràmetre Prenent cada punt de la circumferència com a condició inicial i resolent el sistema per a obtenim un punt final que, si fem variar recorrerà una corba tancada

c=[0.8,1.4]; r=0.2; %centre i radi de la circumferencia

N=100; %nombre de subintervals (N+1 punts)

h=2*pi/N;

s=(0:h:2*pi)'; %valors del parametre (vector columna)

X0=[c(1)+r*cos(s),c(2)+r*sin(s)];

%parametritzacio de la circumferencia, donada per una matriu (N+1)x2

plot(X0(:,1),X0(:,2),'k') %dibuix circumferencia

opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);

tf=0.75; %temps integracio

Xf=zeros(N+1,2);

%inicialitzem la matriu (N+1)x2 que ha de contenir els punts finals

for i=1:N+1

[t,X]=ode45(F,[0,tf],X0(i,:),opcions);

%integrem des de cada punt de la circumferencia, fins a temps tf

Xf(i,:)=X(end,:); %guardem el punt final, i anem omplint la matriu

if( mod(i,N/10)==0 )

plot(X(:,1),X(:,2),'m')

%dibuixem nomes 10 de les trajectories obtingudes

%(per no saturar el dibuix)

end

end

plot(Xf(:,1),Xf(:,2),'b') %dibuix de la corba de punts finals

axis([0.2,1.8,0.8,2.5])

Comparació de les àrees encerclades per les dues corbes

Finalment, calcularem les àrees encerclades per les corbes de punts inicials i finals i veurem que l'àrea s'ha reduït i per quin factor (recordem que la corba inicial escollida es troba a la zona de divergència negativa). Per calcular l'àrea encerclada per la corba de punts finals usarem la fórmula basada en el teorema de Green:

Com que no coneixem les funcions explícitament sinó com un rang de valors, haurem de calcular les seves derivades numèricament. Usarem fórmules centrades: