Exercicis pràctica: DETERMINACIÓ D'ESDEVENIMENTS EN EDOs

Exercicis resolts

[ Nota: Trobareu les funcions auxiliars condicioA1, condicioA2... al final de tot. ]

(A1) Sigui

la solució de l'equació del pèndol amb fricció

, amb condicions inicials (angle i velocitat angular)

. Calculeu l'angle que forma el pèndol amb la posició vertical després de 3 oscil·lacions completes.

P=@(x,y) y;
Q=@(x,y) -sin(x)-0.1*y;
F=@(t,X) [P(X(1),X(2));Q(X(1),X(2))];
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
opcions=odeset(opcions,'Events',@condicioA1);
t0=0; X0=[pi/2,0];
tf=25; %cal escollir un temps prou gran
[t,X,te,Xe]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
angle=Xe(4,1); %descartem la primera fila ja que correspon a t=0
fprintf('angle = %.6f\n',angle)
angle = 0.540842

(A2) Sigui

la solució de l'EDO de primer ordre

, amb condició inicial

. Trobeu l'instant t en què la gràfica de

talla la circumferència

f=@(t,x) t^3-x^2;
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
opcions=odeset(opcions,'Events',@condicioA2);
t0=0; x0=1;
tf=5; %cal escollir un temps prou gran
[t,x,te,xe]=ode45(f,[t0,tf],x0,opcions);
temps=te(1);
fprintf('temps = %.6f\n',temps)
temps = 1.963027

(A3) Sigui

la solució del sistema

, amb les condicions inicials

. Per al primer instant

en què la solució talla el pla

, calculeu la distància del punt de tall a l'eix z.

P=@(x,y,z) cos(y);
Q=@(x,y,z) exp(-x);
R=@(x,y,z) 1+cos(x.*y);
F=@(t,X) [P(X(1),X(2),X(3));Q(X(1),X(2),X(3));R(X(1),X(2),X(3))];
opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);
opcions=odeset(opcions,'Events', @condicioA3);
t0=0; X0=[0,0,0];
tf=2;
[t,X,te,Xe]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);
x1=Xe(1,1);
y1=Xe(1,2);
dist=sqrt(x1^2+y1^2);
fprintf('distancia = %.6f\n',dist)
distancia = 0.626883

(A4) Sigui

la solució del sistema (no autònom)

, amb les condicions inicials

. Trobeu el primer instant t en què la distància a l'origen assoleix el seu primer màxim local. [ Ind.: Useu que

. ]

P=@(t,x,y) -0.5*x+2*y-0.02*x.*y;

Q=@(t,x,y) -x+(1+sin(t)).*y;

F=@(t,X) [P(t,X(1),X(2));Q(t,X(1),X(2))];

opcions=odeset('AbsTol',1e-8,'RelTol',1e-8);

opcions=odeset(opcions,'Events', @(t,X) condicioA4(t,X,P,Q));

%la funcio 'condicio' tambe depen de P i Q, pero els fixem

%per tenir una funcio nomes de (t,X)

t0=0; X0=[-5,1];

tf=8; %cal escollir un temps prou gran pero no massa

[t,X,te,Xe]=ode45(F,[t0,tf],X0,opcions);

temps=te(1);

fprintf('temps = %.6f\n',temps)

temps = 3.293479

close all

figure

hold on

axis equal

plot(X(:,1),X(:,2)) %dibuix de l'orbita

plot(Xe(1,1),Xe(1,2),'r*') %marquem el punt trobat

Altres exercicis

(B1) Sigui x(t) la solució de l'equació del pèndol amb fricció x'' = -a*sin(x)-bx', essent a=3.00 i b=0.20, partint de la posició vertical x(0)=0 i amb velocitat angular inicial x'(0)=1. Quin és el primer instant T en què el pèndol es troba en posició vertical i amb velocitat angular (en valor absolut) més petita que 0.001 ?

[ Solució: 69.145918 ]

(B2) Sigui x(t) la solució del PVI x'=x+y, y'=-x+ay, x(0)=x0, y(0)=0, essent a=0.50 i x0=0.10. Aquest sistema és un focus. Un cop la solució ha donat una volta sencera a l'origen (és a dir, torna a tallar el semieix x positiu), assoleix un punt (x1,0). Calculeu el valor de x1. [ Comprovació: x1 = x0 exp(2pi alpha/beta), on alpha i beta són les parts real i imaginària dels valors propis de la matriu del sistema. ]

[ Solució: 12.992202 ]

(B3) Sigui (s(t),m(t),h(t),e(t),o(t)) la solució del sistema lineal 5D homogeni atractor

s' = -3s/580, m' = -19m/590, h' = 3s/170 + 19m/425 - 2h/25, e' = 17h/19 - 85e/116, o' = 85e/393 - 33o/131

amb les condicions inicials s(0) = m(0) = h(0) = e(0) = o(0) = 1. Trobeu el primer instant t en que la funció o(t) assoleix el valor p o(0), essent p=0.50. [ Nota: Aquest sistema modelitza la neteja dels cinc Grans Llacs (Superior, Michigan, Huron, Erie i Ontario), i estem calculant el temps perquè la concentració de contaminant al darrer llac (Ontario) es redueixi en un factor p. ]

[ Solució: 21.633574 ]

(B4) Sigui x(t) la solució de l'EDO de segon ordre x''=3x-x^2, amb les condicions inicials x(0)=a, x'(0)=b, essent a=0.80 i b=0.20. Sabent que és periòdica, trobeu-ne el període.

[ Solució: 4.562652 ]

(B5) La trajectòria al pla (x,y) d'una massa puntual sotmesa a la gravetat g=9.80 i amb un coeficient de fricció k=0.50 ve modelitzada pel sistema 2D de segon ordre

x'' = -kx'/sqrt((x')^2+(y')^2), y'' = -g-ky'/sqrt((x')^2+(y')^2),

on la coordenada y és la coordenada vertical. Donades les les condicions inicials x(0)=0, x'(0)=1, y(0)=0, y'(0)=5, trobeu el temps que triga la massa a caure al terra, és a dir, el primer instant t>0 en què y(t) val zero.

[ Solució: 0.997772 ]

(B6) Sigui (x(t),y(t)) la solució del sistema no lineal

x' = -y + v(1-x)/sqrt((1-x)^2+y^2), y' = x - vy/sqrt((1-x)^2+y^2),

essent v=0.50, amb les condicions inicials x(0)=0.5, y(0)=0. Aquest sistema modela les trajectòries d'uns platihelmints que volen apropar-se a un llum i es mouen a velocitat v dins d'un recipient cilíndric de radi 1 que gira amb velocitat angular 1. Trobeu el primer instant t en què la distància a l'origen assoleix el seu primer màxim local. [ Ind.: Useu que (x^2+y^2)'=xP+yQ. ] [ Comprovació: Tots els màxims i mínims locals estan situats sobre la circumfèrencia de centre (x0,y0)=(1/2,0) i radi r=1/2, per a tota velocitat v tal que 0<v<1. ]

[ Solució: 1.293164 ]

Funcions auxiliars

function [expr,aturar,signe]=condicioA1(t,X)
  expr=X(2);
  aturar=0;
  signe=-1;
end
function [expr,aturar,signe]=condicioA2(t,x)
  expr=t^2+x^2-9;
  aturar=0;
  signe=1;
end
function [expr,aturar,signe]=condicioA3(t,X)
  expr=X(3)-1;
  aturar=0;
  signe=0;
end
function [expr,aturar,signe]=condicioA4(t,X,P,Q)
  %afegim P i Q com a variables addicionals per tal que
  %es reconeguin dins la funcio 'condicio'
  expr=X(1)*P(t,X(1),X(2))+X(2)*Q(t,X(1),X(2));
  aturar=0;
  signe=-1;
end