El Numèric a les Matemàtiques de l'ETSEIB
Guions Estructurats per cursos: Aquestes son les pràctiques que actualment complementen les diferents assignatures del primer curs de l'ETSEIB. En totes elles s'apliquen conceptes de la pròpia assignatura i, sempre que es pot, s'aprofita per introduïr aplicacions dels mateixos utlitzant les facilitats que ofereix el Matlab.
Premi de Mathworks
Mathworks (empresa titular de MATLAB) ha premiat el projecte Numerical Factory amb una Academic Developement Support Grant. Felicitats a tots els membres de l’equip!!!.
Taula d'Assignatures
Àlgebra Lineal
Càlcul 1
Geometria
Càlcul 2
Equacions Diferencials
Numerical Methods: Finite Elements (GETI)
Numerical Methods in Engineering (GTIAE)
PI0 - Introducció al Matlab.
Primer guió perquè els estudiants puguin començar a treballar amb Matlab. En aquest guió s'expliquen diverses característiques de la interfície de Matlab i també s'introdueix a l'alumne en l'editor del Matlab per anar potenciant la utilització dels scripts i fitxers de Matlab.
No s'ha intentat dissenyar un mini curs d'aprenentatge de Matlab, ja que hi ha molts recursos a internet que serveixen per aquesta finalitat
PI1 - Manipulació de Matrius
En aquest guió es fa una primera aproximació a la potència del Matlab per manipular matrius. Es veuen les possibilitats que tenim per accedir i modificar els elements d'una matriu, fer-ne còpies. etc. També s'introdueixen els formats de visualització dels números que el Matlab ofereix. Al final es fa un exemple de visualització d'una matriu amb la funció spy que dona els valors diferents de zero d'una matriu.
El fitxer de la imatge el podeu descarregar aquí
Àlgebra Lineal
PA1 - Autòmat Cel·lular: El joc de la Vida
En aquest guió s'introdueix el recorregut sobre els elements d'una matriu a partir del concepte d'autòmat cel·lular introduït per John Conway (1970) amb el que es conneix com el joc de la vida que és essencialemnt una matriu binària (vius/morts) en el que l'estat d'una cel·la varia segons els valors dels veïns. La representació de cada generació es fa amb la funció spy i dins d'un bucle animat que permet veure l'evolució de les cel·les vives.
PA2 - Google Rank Page
En aquest guió s'introdueix l'algoritme de ranking de pàgines web que utilitza google i que està basat en els vectors i valors propis d'una matriu.
PA3 - Sistemes Discrets: Mètode de la Potència
En aquest guió s'introdueix el mètode de la Potència que s'utilitza per calcular el valor propi de mòdul màxim d'una matriu. Es fa una aplicació a Sistemes Dinàmics Discrets a partir d'un exemple d'evolució d'especies de mussols.
PA4 - Interpolació Polinòmica: splines
En aquest guió s'introdueix el concepte d'interpolació polinòmica que s'utilitza per aproximar el valor d'una funció a partir d'uns quants punts. Es presenta l'aproximació per splines amb polinomis d'Hermite.
Càlcul 1
PC1 - Representació de Funcions: Simulació d'un oscil·loscopi
En aquest guió s'introdueix la representació de la gràfica d'una funció. També es veu com definir una funció inline en Matlab per poder avaluar-la posteriorment. La funció plot de Matlab permet pintar taules (x,f(x)) d'una funció i obtenir-ne la gràfica. Es veuen les capacitats que ofereix el Matlab en quant a tipus de línia, colors, marcadors, etc.
L'aplicació final és fer un vídeo del comportament d'un oscil·loscopi a partir d'una funció sinus en la que s'introdueix una fase que va desplaçant la funció. D'una manera força fàcil, el Matlab permet enregistrar l'animació i fer-ne un vídeo que es guarda en el fitxer .avi corresponent.
PC2 - Càlcul dels zeros d'una funció
En aquest guió s'introdueixen diferents mètodes de càlcul numèric dels zeros d'una funció. En particular, es veuen el mètode de bisecció i de la secant. En cada cas es fa la seva implementació i es compara la velocitat de convergència. Hem deixat el mètode de Newton per una propera edició d'aquesta pràctica.
Utilitzant el teorema de Bolzano, es fa un primer escombrat per detectar els intervals en els que hi ha un canvi de signe. Posteriorment s'utilitzen els diferents mètodes de càlcul. També s'aprofita per crear un fitxer de resultats en el que s'apren com escriure el números en fitxer txt en format exponencial i es pot visualitzar clarament la diferència de convergència entre el mètodes.
PC3 - Integració Numèrica de Funcions
En aquest guió s'introdeixen els mètodes de càlcul numèric per integrals definides.
Mètodes de Newton-Cotes: rectangles, trapezis i Simpson.
PC4 - Transformada Discreta de Fourier (opcional)
En aquest guió s'introdueix el càlcul de la transformada discreta de Fourier (...no entra a l'examen).
Geometria
PG1 - Projeccions sobre un subespai o el seu ortogonal
En aquest guió s'introdeixen els passos necessaris per poder projectar sobre un subespai vectorial de forma ortogonal o en una direcció qualsevol un punt donat.
L'aplicació final és fer l'ombra generada per un model 3D de punts que es projecten segons una direcció de llum. El pla de projecció es calcula a partir de la base de l'objecte.
Els fitxers dels models els podeu descarregar aquí
PG2 - Referències ortonormals i matrius simètriques: Anàlisis de Components Principals (PCA)
En aquest guió s'apliquen canvis de referència ortonormals i diagonalització de matrius simètriques (b.o.n.) pel càlcul de la Oriented Bounding Box d'un conjunt de punts 3D. El càlcul es basa en l'anàlisi de les components principals (PCA) d'una matriu, concepte que s'utilitza en diferents branques de l'Enginyeria.
Els fitxers dels models els podeu descarregar aquí
PG3 - Descomposició SVD d'una matriu: Aplicació a la compressió d'imatges
En aquest guió s'introdeix la descomposició SVD d'una matriu i com aplicació es fa la compressió d'una imatge a partir dels valors singulars.
El fitxer amb la imatge el podeu descarregar aquí
Les imatges pels Quiz les podeu descarregar aquí
PG4 - Moviments en R^3
En aquest guió s'introdeixen els moviments de desplaçaments i isometries vinculats a l'espai R^3.
L'aplicació final és l'animació de la composició dels angles d'Euler per aconseguir un determinada posició final.
PG5 - Classificacio de formes quadràtiques en R^3
En aquest guió es fa una classificació automàtica de les formes quadràtiques a partir de les seves matrius associades. Utilizant les possibilitats gràfiques 3D del Matlab es fa una representació de la quàdrica associada.
Càlcul 2
PCII1 - Derivades Parcials: Contorns en una imatge
En aquest guió es defineixen els esquemes de diferències finites per poder aproximar numèricament les derivades parcials d'una funció de dues variables. Es fan exemples en els que es pot veure l'ordre d'aproximació dels diferents esquemes de diferències finites.
L'aplicació final és la detecció dels contorns dels objectes en una imatge. Es calcula el gradient en cada píxel de la imatge i s'introdueix el mètode de Prewit per fer més robusta la detecció.
Els fitxers amb les imatges els podeu descarregar aquí coins , BB8 , mandrill
PCII2 - Integració Gaussiana 1-Dim
En aquest guió s'introdueixen les fórmules Gaussianes d'integració numèrica, especialment adeqüades per integrar polinomis. De fet, aquest tipus d'intergració és la més apropiada per fer càlculs d'elements finits que els alumnes veuen al segon curs.
PCII3 - Integració Gaussiana sobre quadrilàters
En aquest guió s'introdueixen els mètodes d'integració Gaussiana sobre quadrilaters.
PCII4 - Transformada de Laplace: Aplicació amortidor d'un vehicle
En aquest guió s'introdueix el càlcul de la transformada de Laplace de forma simbòlica amb Matlab. L'aplicació es fa sobre equacions diferencials de segon orde com la d'un amortidor.
PCII5 - Exemple d'extrems relatius i corbes de nivell: Posició d'una boca de rec
En aquest guió s'introdueix el càlcul d'extrems relatius i corbes de nivell d'una funció de dues variables. L'aplicació es fa sobre el posicionament d'una boca de rec en un poble.
PCII6 - Exemple d'extrems condicionats: Moviment d'un satel·lit
En aquest guió es veu visualment com localitzar extrems condicionats. Aplicació: Un satèl.lit artificial gira al voltant de la Terra en òrbita el.líptica
Equacions Diferencials
PED1 - Integració sobre Corbes
En aquest guió s'introdueix el càlcul d'integrals sobre corbes.
Aquí teniu els exercicis resolts del càlcul d'integrals sobre corbes.
PED2 - Integració Numèrica d'EDOs
En aquest guió s'introdueixen els mètodes d'integració numèrica per Equacions Diferencials Ordinàries.
Aquí teniu els exercicis resolts dels mètodes numèrics d'EDOs.
PED3 - Determinació d'esdeveniments en EDO's
En aquest guió veurem com calcular resultats associats a una EDO o sistema d'EDOs, com poden ser el període d'una òrbita periòdica, la màxima amplitud d'una oscil·lació, etc. Això comporta resoldre equacions (és a dir, trobar zeros) en què la funció involucrada és la solució de l'EDO.
Aquí teniu els exercicis resolts.
